Jornadas de Topología de Datos 2026

Resumen: El análisis topológico de datos es una potente herramienta que permite entender la estructura y topología de los datos. En esta charla presentaremos cómo exploramos el uso de persistencia zigzag en el procesamiento de imágenes, en particular para calcular las relaciones entre clases de homología de una secuencia de imágenes binarias. Mostraremos cómo la aplicamos en problemas biológicos reales donde había que analizar vídeos, concretamente para el análisis de la motilidad y calidad espermática de zánganos de abejas. En la charla también se presentará la posibilidad de aplicar la persistencia zigzag y diversas técnicas de análisis topológico de datos en otros temas biomédicos, como el análisis de la retinopatía diabética. Trabajo conjunto con Ana Romero, Jesús Yániz y Pilar Santolaria.

Resumen: En el ámbito sanitario, es habitual disponer de varios medicamentos para el tratamiento de una misma enfermedad. Sin embargo, cada paciente puede responder de manera distinta a un mismo medicamento, haciendo que algunos resulten más eficaces que otros en función del perfil del paciente. ¿Cómo podemos asignar de manera más precisa los medicamentos a grupos específicos de pacientes con el fin de conseguir una mejor evolución de la enfermedad? En este trabajo analizamos pacientes de demencia registrados en bases de datos suecas y estadounidenses, cuyos datos son de dimensión superior y longitudinales. Inspirados en el algoritmo MAPPER, mostraremos grafos dinámicos que representan a los pacientes y la evolución de su enfermedad a lo largo del tiempo. Los nodos de estos grafos son agrupamientos de pacientes que caracterizan perfiles biológicos relevantes y con capacidad predictiva, obtenidos por ejemplo mediante agrupamiento jerárquico, conocido en diagramas de persistencia en homología de dimensión 0. Las trayectorias en los grafos reflejan la evolución de la enfermedad en cada subgrupo de pacientes. Finalmente, desarrollamos un modelo predictivo capaz de asignar nuevos pacientes a los agrupamientos más afines, y anticipar su pronóstico en respuesta a distintos medicamentos. Este trabajo es conjunto con Martina Scolamiero, Sara García Pteck y Saikat Chatterjee.

Resumen: El concepto de resistencia efectiva, originado en teoría de circuitos y redes, se ha convertido en una poderosa y establecida herramienta para estudiar la estructura de grafos. La resistencia efectiva captura conexiones directas e indirectas entre vértices, está relacionada con caminos aleatorios y con árboles de expansión mínima, y ha sido implementada en aplicaciones para reducir grafos o detectar comunidades. Recientemente, se han introducido varias expresiones matriciales para extender esta noción de resistencia efectiva de la teoría de grafos a complejos simpliciales. En esta charla, presentaré una definición original para la resistencia efectiva independiente de bases, basada en la definición original motivada por la física, que unifica las propuestas existentes y revela perspectivas estructurales sobre los complejos simpliciales. Nuestro marco de trabajo introduce la forma bilineal de resistencia efectiva, facilitando la extensión de la noción clásica para aristas a símplices en mayores dimensiones, cadenas y cocadenas. Si el tiempo lo permite, presentaré cómo esto lleva a generalizaciones de propiedades importantes de la resistencia efectiva en grafos a complejos simpliciales, como el Teorema de Foster o la conexión con árboles de expansión mínimos. Este trabajo es en colaboración con: Claudia Landi, Sarah Percival, Anda Skeja, Bei Wang y Ling Zhou.

Resumen: En los últimos años la integración con respecto a invariantes topológicos ha emergido como una herramienta potente tanto en matemáticas puras como en aplicaciones al análisis de datos. El caso paradigmático es el cálculo de Euler, donde la característica de Euler se interpreta como una medida que permite integrar funciones constructibles, con aplicaciones que van desde la geometría algebraica hasta la detección de objetos mediante redes de sensores. En esta charla proponemos un paso más allá: el cálculo de Lefschetz. Inspirándonos en la relación entre la característica de Euler y el número de Lefschetz, desarrollamos una teoría de integración con respecto al número de Lefschetz en el contexto de estructuras o-minimales y complejos celulares definibles. Esta generalización no sólo recupera resultados conocidos —como el teorema del punto fijo de Lefschetz en un marco más flexible—, sino que también amplía el abanico de aplicaciones prácticas, relajando hipótesis restrictivas del cálculo de Euler en problemas de conteo y detección de objetivos. Asimismo, presentamos una nueva perspectiva en la que el número de Lefschetz se eleva de invariante de espacios a un invariante de datos sobre espacios. Esperamos que este enfoque tienda un puente natural con técnicas de TDA basadas en homología persistente y haces constructibles. Concluiremos mostrando ejemplos donde el cálculo de Lefschetz proporciona ventajas sobre el de Euler en problemas de detección de objetivos, y esbozando conexiones abiertas con el análisis topológico de datos, en particular en la agregación de información y la detección robusta de estructuras invariantes. Parte del trabajo a presentar es conjunto con Alejandro Omar Majadas-Moure.

Resumen: En esta charla mostraremos cómo pasar de la persistencia topológica a la resiliencia estructural en redes simpliciales. Introduciremos nuevas familias de números de Betti capaces de medir no sólo la presencia de ciclos, sino también su grosor y cohesión, permitiendo estudiar su resistencia estructural ante la eliminación o aparición de símplices. Esta extensión de la homología persistente proporciona un marco teórico para evaluar la robustez de redes de orden superior y comprender cómo responden sus estructuras topológicas ante fallos o ataques. Finalmente, mostraremos que la resiliencia de las características topológicas puede describirse mediante módulos de bipersistencia, donde un parámetro representa la progresión del ataque y el otro refleja los refinamientos estructurales asociados al grosor o la cohesión de los ciclos. Estos resultados abren la puerta al desarrollo de nuevos biomarcadores topológicos con potencial impacto en oncología, neurociencias o cardiología.

Resumen: Para un grupo finito arbitrario G, introducimos una noción de distancia de Gromov-Hausdorff para espacios métricos compactos con una acción de G por isometrías y derivamos cotas inferiores utilizando métodos de topología equivariante. Como aplicaciones: (1) analizamos cómo las acciones de G descienden a módulos de persistencia y establecemos cotas inferiores mediante una distancia de interleaving adecuada, que comparamos con las cotas inducidas por la topología equivariante; (2) demostramos teoremas de rigidez y finitud equivariantes; y (3) obtenemos cotas óptimas para la distancia de Gromov-Hausdorff entre esferas.