Jornadas de Topología de Datos 2026

Resumen: El análisis topológico de datos es una potente herramienta que permite entender la estructura y topología de los datos. En esta charla presentaremos cómo exploramos el uso de persistencia zigzag en el procesamiento de imágenes, en particular para calcular las relaciones entre clases de homología de una secuencia de imágenes binarias. Mostraremos cómo la aplicamos en problemas biológicos reales donde había que analizar vídeos, concretamente para el análisis de la motilidad y calidad espermática de zánganos de abejas. En la charla también se presentará la posibilidad de aplicar la persistencia zigzag y diversas técnicas de análisis topológico de datos en otros temas biomédicos, como el análisis de la retinopatía diabética. Trabajo conjunto con Ana Romero, Jesús Yániz y Pilar Santolaria.

Resumen: En el ámbito sanitario, es habitual disponer de varios medicamentos para el tratamiento de una misma enfermedad. Sin embargo, cada paciente puede responder de manera distinta a un mismo medicamento, haciendo que algunos resulten más eficaces que otros en función del perfil del paciente. ¿Cómo podemos asignar de manera más precisa los medicamentos a grupos específicos de pacientes con el fin de conseguir una mejor evolución de la enfermedad? En este trabajo analizamos pacientes de demencia registrados en bases de datos suecas y estadounidenses, cuyos datos son de dimensión superior y longitudinales. Inspirados en el algoritmo MAPPER, mostraremos grafos dinámicos que representan a los pacientes y la evolución de su enfermedad a lo largo del tiempo. Los nodos de estos grafos son agrupamientos de pacientes que caracterizan perfiles biológicos relevantes y con capacidad predictiva, obtenidos por ejemplo mediante agrupamiento jerárquico, conocido en diagramas de persistencia en homología de dimensión 0. Las trayectorias en los grafos reflejan la evolución de la enfermedad en cada subgrupo de pacientes. Finalmente, desarrollamos un modelo predictivo capaz de asignar nuevos pacientes a los agrupamientos más afines, y anticipar su pronóstico en respuesta a distintos medicamentos. Este trabajo es conjunto con Martina Scolamiero, Sara García Pteck y Saikat Chatterjee.

Resumen: El concepto de resistencia efectiva, originado en teoría de circuitos y redes, se ha convertido en una poderosa y establecida herramienta para estudiar la estructura de grafos. La resistencia efectiva captura conexiones directas e indirectas entre vértices, está relacionada con caminos aleatorios y con árboles de expansión mínima, y ha sido implementada en aplicaciones para reducir grafos o detectar comunidades. Recientemente, se han introducido varias expresiones matriciales para extender esta noción de resistencia efectiva de la teoría de grafos a complejos simpliciales. En esta charla, presentaré una definición original para la resistencia efectiva independiente de bases, basada en la definición original motivada por la física, que unifica las propuestas existentes y revela perspectivas estructurales sobre los complejos simpliciales. Nuestro marco de trabajo introduce la forma bilineal de resistencia efectiva, facilitando la extensión de la noción clásica para aristas a símplices en mayores dimensiones, cadenas y cocadenas. Si el tiempo lo permite, presentaré cómo esto lleva a generalizaciones de propiedades importantes de la resistencia efectiva en grafos a complejos simpliciales, como el Teorema de Foster o la conexión con árboles de expansión mínimos. Este trabajo es en colaboración con: Claudia Landi, Sarah Percival, Anda Skeja, Bei Wang y Ling Zhou.

Resumen: En los últimos años la integración con respecto a invariantes topológicos ha emergido como una herramienta potente tanto en matemáticas puras como en aplicaciones al análisis de datos. El caso paradigmático es el cálculo de Euler, donde la característica de Euler se interpreta como una medida que permite integrar funciones constructibles, con aplicaciones que van desde la geometría algebraica hasta la detección de objetos mediante redes de sensores. En esta charla proponemos un paso más allá: el cálculo de Lefschetz. Inspirándonos en la relación entre la característica de Euler y el número de Lefschetz, desarrollamos una teoría de integración con respecto al número de Lefschetz en el contexto de estructuras o-minimales y complejos celulares definibles. Esta generalización no sólo recupera resultados conocidos —como el teorema del punto fijo de Lefschetz en un marco más flexible—, sino que también amplía el abanico de aplicaciones prácticas, relajando hipótesis restrictivas del cálculo de Euler en problemas de conteo y detección de objetivos. Asimismo, presentamos una nueva perspectiva en la que el número de Lefschetz se eleva de invariante de espacios a un invariante de datos sobre espacios. Esperamos que este enfoque tienda un puente natural con técnicas de TDA basadas en homología persistente y haces constructibles. Concluiremos mostrando ejemplos donde el cálculo de Lefschetz proporciona ventajas sobre el de Euler en problemas de detección de objetivos, y esbozando conexiones abiertas con el análisis topológico de datos, en particular en la agregación de información y la detección robusta de estructuras invariantes. Parte del trabajo a presentar es conjunto con Alejandro Omar Majadas-Moure.

Resumen: En esta charla mostraremos cómo pasar de la persistencia topológica a la resiliencia estructural en redes simpliciales. Introduciremos nuevas familias de números de Betti capaces de medir no sólo la presencia de ciclos, sino también su grosor y cohesión, permitiendo estudiar su resistencia estructural ante la eliminación o aparición de símplices. Esta extensión de la homología persistente proporciona un marco teórico para evaluar la robustez de redes de orden superior y comprender cómo responden sus estructuras topológicas ante fallos o ataques. Finalmente, mostraremos que la resiliencia de las características topológicas puede describirse mediante módulos de bipersistencia, donde un parámetro representa la progresión del ataque y el otro refleja los refinamientos estructurales asociados al grosor o la cohesión de los ciclos. Estos resultados abren la puerta al desarrollo de nuevos biomarcadores topológicos con potencial impacto en oncología, neurociencias o cardiología.

Resumen: Para un grupo finito arbitrario G, introducimos una noción de distancia de Gromov-Hausdorff para espacios métricos compactos con una acción de G por isometrías y derivamos cotas inferiores utilizando métodos de topología equivariante. Como aplicaciones: (1) analizamos cómo las acciones de G descienden a módulos de persistencia y establecemos cotas inferiores mediante una distancia de interleaving adecuada, que comparamos con las cotas inducidas por la topología equivariante; (2) demostramos teoremas de rigidez y finitud equivariantes; y (3) obtenemos cotas óptimas para la distancia de Gromov-Hausdorff entre esferas.

Resumen: La charla describe la aplicación de la homología persistente a hipergrafos filtrados, estructuras que modelan interacciones de orden superior mediante hiperaristas que pueden conectar cualquier número de vértices. Se explica la construcción de la homología restringida (embedded homology) propuesta por Bressan, Li, Ren y Wu (2019), que preserva la información explícita del hipergrafo sin recurrir a su clausura simplicial, entendida como el complejo simplicial obtenido al añadir todos los subconjuntos de las hiperaristas. Se presenta un caso práctico utilizando datos de redes de coautoría extraídos del arXiv, mediante la implementación del algoritmo de Liu, Feng, Wu y Xia (2024) para el cálculo de la homología persistente de una filtración de hipergrafos. Finalmente, se comparan los resultados con los obtenidos mediante la clausura simplicial, destacando algunas de las diferencias y la utilidad de este enfoque para el análisis topológico de datos con interacciones complejas de orden superior.

Resumen: En este trabajo introducimos la distancia de matching convexa, una nueva pseudo-métricapara la persistencia multiparamétrica diseñada para superar las limitaciones computacionales de la matching distance estándar. A diferencia del enfoque tradicional basado en el foliation method —que depende de dos parámetros en modo continuo, no smooth—, nuestro método considera la familia de combinaciones convexas $f_t = \sum_it_if_i$. La ventaja de esta formulación es doble: reduce la complejidad de cálculo al depender de $n-1$ parámetros $t_i$ y sustituye un operador continuo por uno smooth, lo que ofrece ventajas teóricas y computacionales decisivas. Probamos la estabilidad de esta distancia y establecemos dos resultados clave en el ámbito biparamétrico: un Teorema de Posición, que permite el cálculo de la persistencia de $f_t$ a través del Pareto grid de $(f_1,f_2)$, y un Teorema de Realización. Este último garantiza que la nueva distancia se realiza en un conjunto de $t \in [0,1]$ finito bajo hipótesis genéricas en $f_1, f_2$, transformando un problema de optimización sobre un continuo en una búsqueda sobre un conjunto finito y sentando así las bases para un algoritmo de cálculo eficiente de la persistencia multiparamétrica.

Resumen: Las distancias de tipo Gromov–Hausdorff desempeñan un papel fundamental en ámbitos computacionales como el Análisis Topológico de Datos. En esta charla introduciremos la distancia de Gromov–Hausdorff para pares y tuplas métricas, dando su definición, describiendo sus propiedades principales y presentando los resultados más relevantes. También discutiremos escenarios concretos en los que esta distancia aparece de manera natural. La presentación se basa en el siguiente preprint: arXiv:2505.12735.

Resumen: Los complejos P-Filtrados (siendo P un conjunto parcialmente ordenado) toman un papel fundamental en análisis de datos topológico. En particular, un procedimiento estándar conlleva el estudio de módulos de persistencia P-filtrados que resultan de aplicar el funtor de homología sobre un cuerpo. Sin embargo, en la práctica, puede resultar costoso trabajar con dichos módulos, ya que estos pueden adquirir una alta complejidad, y, en particular, puede resultar difícil guardarlos y trabajar con ellos. El llamado “complejo de Conley” es el representante minimal que es homotópica equivalente a un complejo de cadenas P graduado. Fijada una base en el complejo de Conley, la matriz de su diferencial se conoce como la matriz de conexión. Por tanto, dicha matriz se presenta como una buena "candidata" para guardar de forma compacta la información homológica de complejos filtrados por múltiples parámetros. Además, recientemente se han desarrollado algoritmos similares al cálculo estándar de homología persistente que permiten obtener la matriz de conexión de forma eficiente. En esta charla, empezaré dando una breve introducción a los objetos y procedimientos mencionados anteriormente y, en particular, revisaré parte de la extensa literatura. Seguidamente, enmarcaré el problema dentro de la teoría de Morse Algebraica y, de forma más general, como una aplicación del lema de la perturbación. Este punto de vista permite obtener de forma explícita una equivalencia homotópica entre un complejo P graduado dado y su correspondiente complejo de Conley. En particular, dicha equivalencia se obtiene mediante las fórmulas del lema de la perturbación y permite escribir explícitamente las entradas de la matriz de conexión. Finalmente, presentaré brevemente un algoritmo basado en esta construcción. Este trabajo es producto de una colaboración con el Dr. Ambrose Yim y mi supervisor de doctorado, el Dr Ulrich Pennig.

Resumen: En la charla explicaré la aplicación de la persistencia multiparamétrica para el análisis de imágenes de tipo sanitario (concretamente mamografías) que posteriormente son analizadas por un modelo de inteligencia artificial para el diagnóstico de cáncer de mama.

Resumen: El análisis de datos topológicos ha sido utilizado con éxito para caracterizar sistemas físicos discretos estáticos. Mostraremos distintas estrategias para abordar la caracterización de sistemas físicos discretos dinámicos utilizando herramientas topológicas y una aplicación a evacuación de recintos.

Resumen: La teoría de Morse discreta se ha convertido en una herramienta esencial para la simplicicación de complejos. En su definción original, esta teoría mantiene la homotopía invariante, una propiedad restrictiva si sólo estamos interesados en la homología. En este trabajo noS centramos en usar la teoría de Morse directamente sobre los complejos de cadenas. Esto nos permite establecer una relación estrecha entre gradientes y filtraciones de complejos, nuevas interpretaciones de qué significa "simplificar" en este contexto y abre la puerta a nuevas conjeturas y técnicas para resolverlas.

Resumen: Aquí irá el resumen detallado de la charla. Explica brevemente el contenido, los objetivos y la relevancia de la presentación.

Resumen: En la charla se presentaran algunos resultados conocidos sobre las categorías de módulos de persistencia y se introducirán algunas direcciones de investigación y resultados novedosos fruto de un trabajo en curso junto con Rocío González Díaz y Álvaro Torras Casas.

Resumen: En los últimos años, varios trabajos en TDA han recurrido al concepto de fuzzy simplicial sets. Un ejemplo destacado es el algoritmo UMAP, que modela el conjunto de datos como un complejo simplicial difuso antes de proyectarlo a dos o tres dimensiones. Sin embargo, aún queda abierta una cuestión fundamental: si a un complejo simplicial clásico podemos asociarle grupos de homología, ¿qué tipo de invariantes homológicos pueden definirse para un complejo simplicial L-difuso? En esta charla presentamos una respuesta a esta pregunta. Describiremos cómo construir una teoría de homología para complejos L-difusos, cómo hacer los cálculos y cuál es su interpretación. Finalmente, mostraremos cómo estas ideas pueden aplicarse en contextos como la multipersistencia y el TDA cromático.

Resumen: Los complejos Dowker y Alfa-Cromáticos son herramientas fundamentales en el análisis topológico de datos con múltiples etiquetas. Estas construcciones permiten inferir relaciones topológicas entre distintas etiquetas, facilitando la identificación de estructuras que emergen de su interacción. En este póster presentamos una introducción a ambos tipos de complejos, junto con ejemplos ilustrativos que permiten comparar sus propiedades, interpretar sus diferencias y destacar su utilidad en el estudio topológico de datos.

Resumen: Durante demasiado tiempo, la expresividad de las redes neuronales de grafos se ha medido únicamente en términos de propiedades combinatorias. En este trabajo nos alejamos de esta tradición y proporcionamos una forma fundamentada de medir la similitud entre grafos con atributos en los vértices. Denotamos esta medida como la distorsión de homomorfismo de grafos. Mostramos que puede caracterizar completamente los grafos y, por lo tanto, también es una representación completa de grafos. Tambien, exploramos sus propiedades discriminativas en comparacion con el test de Weissfeiler & Lehman. Sin embargo, en algún momento nos encontramos con el problema de canonización de grafos. Para sobrellevar este obstáculo, diseñamos un método para calcular esta medida de manera eficiente a través de muestreo, lo que en expectativa garantiza la completitud. Validamos nuestras afirmaciones de manera empírica y encontramos que la distorsión de homomorfismo de grafos permite distinguir entre grafos con alta similaridad como grafos fuertemente regulares.

Resumen: El ozono troposférico es un contaminante secundario que a ciertas concentraciones presenta un impacto destacable sobre la salud humana. En este trabajo se aplica un nuevo enfoque basado en análisis topológico para estudiar su comportamiento durante episodios de olas de calor. Esta metodología permite identificar patrones recurrentes en la dinámica del ozono, ofreciendo una visión global de su evolución en condiciones extremas.

Resumen: Las células madre se caracterizan por su capacidad para proliferar y diferenciarse en tipos celulares especializados en respuesta a señales ambientales. Por ejemplo, las células madre pluripotentes humanas se diferencian en mesodérmicos y amnióticos en respuesta a la señal BMP (Bone morphogenetic protein) [1]. Para investigar cómo la dinámica de señalización BMP afecta la distribución espacial de los diferentes tipos celulares, aplicamos técnicas de Topological Data Analysis (TDA) [2] a los conjuntos de puntos 2D que representan distintos tipos celulares en la etapa final de diferentes experimentos. Más específicamente, los complejos alfa cromáticos [3] han surgido recientemente como una nueva construcción adecuada para el análisis topológico de datos etiquetados (o cromáticos). Al considerar aplicaciones de inclusión entre las filtraciones alfa cromáticas en subconjuntos de puntos (por ejemplo, de un conjunto monocromático al conjunto total de puntos), es posible obtener aplicaciones entre los grupos de homología en cada valor de filtración, las cuales pueden estudiarse en términos de invariantes como sus diagramas de persistencia de núcleo, cociente e imagen [4]Estos diagramas de persistencia pueden proporcionar información rica sobre las relaciones espaciales entre los distintos conjuntos de puntos. Este es un trabajo conjunto en progreso con Elena Camacho-Aguilar y Maria-Jose Jimenez (mencionadas en orden alfabético). [1] Camacho-Aguilar, E., Yoon, S. T., Ortiz-Salazar, M. A., Du, S., Guerra, M. C., & Warmflash, A. (2024). Combinatorial interpretation of BMP and WNT controls the decision between primitive streak and extraembryonic fates. Cell systems, 15(5), 445–461.e4. https://doi.org/10.1016/j.cels.2024.04.001 [2] Dey, T. K., & Wang, Y. (2022). Computational Topology for Data Analysis. Cambridge: Cambridge University Press. doi:10.1017/9781009099950 [3] di Montesano, S. C., Draganov, O., Edelsbrunner, H., & Saghafian, M. (2025). Chromatic alpha complexes. Foundations of Data Science. doi:10.3934/fods.2025003 [4] Cohen-Steiner, D., Edelsbrunner, H., Harer, J., & Morozov, D. (2009). Persistent Homology for Kernels, Images, and Cokernels. In Proceedings. Proceedings of the 2009 Annual ACM-SIAM Symposium on Discrete Algorithms (SODA) (pp. 1011–1020). doi:10.1137/1.9781611973068.110.

Resumen: Este estudio investiga el impacto del trastorno por abuso de sustancias inhaladas (ISAD) en la conectividad cerebral adolescente mediante un marco topológico multiescala sobre hipergrafos: el modelo s^2 escala-espacio. Analizando datos de 43 adolescentes (24 ISAD, 19 controles), modelamos las redes cerebrales como hipergrafos a través de escalas de difusión algebraica, evitando el uso de umbrales típicos de la homología persistente. Los descriptores algebraicos calculados (números de Betti, rango matricial y divisores elementales) refuerzan los resultados originales: los sujetos con ISAD exhiben una pérdida significativa de complejidad estructural, caracterizada por una mayor fragmentación. Además el análisis estadístico confirma el diagnóstico como la única variable determinante. Estos resultados validan la capacidad del modelo s^2 para capturar alteraciones topológicas sutiles dependientes de la escala, posicionándolo como una herramienta útil para el análisis de datos biomédicos complejos.

Resumen: La gentrificación es el proceso mediante el cual clases sociales pudientes se mudan a barrios tradicionalmente de bajos recursos, acarreando transformaciones significativas en el área. Una de estas consecuencias es el desplazamiento de la población original. Para cuantificarlo adecuadamente es necesario conocer los motivos por los que los residentes se mudaron y realizar un estudio longitudinal incorporando datos georreferenciados. En este trabajo, introducimos una metodología que conjuga simultáneamente las componentes temporales y espaciales de los cambios de residencia mediante la construcción de un complejo cúbico tridimensional, y calculamos su homología persistente para detectar patrones de desplazamiento. Trabajo en colaboración con Manuel Mellado.